本来の解決方法とはちょっと違うのですが、VSCode用のHSP3の拡張機能はベインさん作のものとほのぼのさん作の2つがあって、私が使用している ほのぼのさんのものですと問題なく使えるのでそちらの方法を書きますね。
(ベインさんのは既知の不具合の欄に、shift_jisでうまく動かないかもしれないとあるので)
１）VScodeの拡張機能タブのMarketplaceで「hsp3」と検索し、「language-hsp3」をインストールします。
２）以下のサイトからhspcをダウンロードして「hspc.exe」をHSP3のフォルダ（hsed.exeやhspcmp.exeが入ってるフォルダ）に移動またはコピーします。
→
http://dev.onionsoft.net/seed/info.ax?id=1392
３）language-hsp3の歯車アイコンから「拡張機能の設定」を開き、値を以下に設定します。
Language-hsp3: Compiler 「２でコピーした先のhspc.exeの"フルパス" （例：C:\HSP3\hspc.exe）」
Language-hsp3 › Helpman › Path: Local 「HSP3フォルダ\hsphelp\helpman.exe（例：C:\HSP3\hsphelp\helpman.exe）」
４）以上でインストール完了です。F1でヘルプドキュメントの表示、F5で実行できます。
Ex）F5押しても別のウィンドウが出て実行できないとき
・エディタの部分をクリックしてからF5を押してみる。
・左下の歯車→キーボードショートカット→検索欄に「F5」と入力。
「hsp: Run HSP program」以外のF5キーのキーボードショートカットを削除してみる。
ちなみにダイマになってしまいますが、私の作った「language-hsp3-ex」や「language-hsp3-constant」拡張機能もインストールするとhgimg3/4やWin32APIなんかもシンタックスハイライトしてくれます。
vscodeで拡張機能「HSP3デバッグ」を使用したときのコンパイルエラー内容が文字化けします
